Introdução

Para podermos abordar Formas Bilineares Simétricas, se faz necessário uma abordagem do conteúdo  de Formas lineares e bilineares, este será o primeiro tópico. O Segundo tópico irá abordar dois teoremas referentes a operadores auto – adjuntos e ortogonais.

a)    Funções bilineares se comportam mais ou menos como produto interno.

b)    Uma forma Bilinear é uma aplicação B:V x V →R definida (v,w) →B(v,w) tal que:

                                           i)                       Para todo w fixado, B(v,w) é uma forma linear em v, isto é:

            B(v₁+v₂, w) = B(v₁,w) + B(v₂,w)    e

            B(av,w) = aB(v,w)

                                         ii)                       Para todo v fixado, B(v,w) é uma forma linear em w, isto é:

            B(v, w₁+w₂) = B(v,w₁) + B(v,w₂)    e   

            B(v, aw) = aB(v,w).

Formas Bilineares Simétricas

 Definição: A forma  Bilinear B: V x V  → R é simétrica se B(v,w) = B(w,v) para todo v,w є V.

B é simétrica, de fato:

Temos que,

B: (w,v) = _-y₁x₁ +3 y₂x₁+3y₁x₂ +2y₂x₂

Por outro lado

B(v,w)= -x₁y₁ + 3x₂y₁ + 3x₁y₂+ 2x₂y₂

B é simétrica.

 

 

Fazendo a multiplicação temos : 

Fazendo a distributiva: V(v,w) = -x₁y₁ + 2x₂y₁ + 2x₁y₂+ x₂y₂

Achando então a forma Bilinear correspondente B(v,w), analogamente acharemos  B(w,v) como no exemplo anterior

Teorema

Uma  forma  Bilinear B: V x V  → R é simétrica se e somente se [B]   é uma matriz simétrica.

Hipótese: B é simétrica

Tese: B(u,v) = B(v,u)

Seja V um espaço vetorial e B: R³ x R³ → R uma forma Bilinear. Dada uma base α ={v₁, v₂ , v₃ } de V, associamos a B uma matriz [B]    , na base α , do seguinte modo:

Se   u= (x₁ v₁+ x₂ v₂ + x₃ v_3,) e v = (y₁ v₁ + y₂ v₂ + y₃ v₃)

Então: B(u,v) = B(x₁ v₁+ x₂ v₂ +x₃ v₃, v)

B(u,v) = B(x₁ v₁ ,v) + B(x₂ v₂ ,v) + B(x₃ v₃, v)

B(u,v) = x₁B(v₁ ,v) + x₂B(v₂ ,v) + x₃B (v₃, v)

Vamos agora substituir o valor de v 

B(u,v) = x₁B(v₁ , y₁ v₁+y₂ v₂ +y₃ v₃) + x₂B(v₂ , y₁ v₁+y₂ v₂ +y₃ v₃) + x₃B (v₃, y₁ v₁+y₂ v₂ +y₃ v₃)

B(u,v) = x₁B(v₁, y₁v₁)+ x₁B(v₁, y₂v₂)+ x₁B(v₁,y₃v₃) + x₂B(v₂ ,y₁v₁ )+ x₂B(v₂ ,y₂v₂ )+ x₂B(v₂ ,y₃v₃) +x₃B (v₃,y₁v₁ ) + x₃B (v₃ ,y₂v₂) +x₃ B(v₃ ,y₃v₃)

B(u,v) = x₁y₁ B(v₁,v₁)+ x₁y₂ B(v₁,v₂)+ x₁y₃B(v₁,v₃) + x₂y₁ B(v₂,v₁ )+ x₂y₂ B(v₂, v₂ )+ x₂y₃ B(v₂ , v₃) +x₃y₁ B (v₃, v₁ ) + x₃y₂ B (v₃ , v₂ ) + x₃y₃ B(v₃ , v₃)

Temos que: A_ij = B(v_i, v_j) então

B(u,v) = x₁y₁ A₁₁+ x₁y₂ A₁₂+ x₁y₃A₁₃ + x₂y₁ A₂₁ + x₂y₂ A₂₂ + x₂y₃ A₂₃ +x₃y₁ A ₃₁ + x₃y₂ A ₃₂ + x₃y₃ A₃₃

Vamos agora fazer B(v,u)

B(v,u) = B(y₁ v₁+ y₂ v₂ +y₃ v₃, u)

B(v,u) = B(y₁v₁ ,u) + B(y₂v₂ ,u) + B(y₃v₃, u)

B(v,u) = y₁B(v₁ ,u) + y₂B(v₂ ,u) + y₃B (v₃, u)

Vamos agora substituir o valor de u

B(v,u) = y₁B(v₁ , x₁v₁+x₂v₂ +x₃v₃) + y₂B(v₂ , x₁v₁+x₂v₂ +x₃v₃) + y₃B (v₃, x₁v₁+ x₂v₂ +x₃v₃)

Usando definição de formas bilineares

B(v,u) = y₁B(v₁, x₁v₁)+ y₁B(v₁, x₂v₂)+ y₁B(v₁,x₃v₃) + y₂B(v₂ ,x₁v₁ )+ y₂B(v₂ ,x₂v₂ )+ y₂B(v₂ ,x₃v₃) + y₃B (v₃,x₁v₁ ) + y₃B (v₃ ,x₂v₂) +y₃ B(v₃ ,x₃v₃)

Usando novamente definição de formas bilineares

B(v,u) = y₁x₁B(v₁,v₁)+ y₁x₂ B(v₁,v₂)+ y₁x₃B(v₁,v₃) + y₂x₁ B(v₂,v₁ )+ y₂x₂ B(v₂, v₂ )+ y₂x₃ B(v₂ , v₃) +y₃x₁ B (v₃, v₁ ) + y₃x₂ B (v₃ , v₂ ) + y₃x₃ B(v₃ , v₃)

B(v,u) = y₁x₁A₁₁+ y₁x₂ A₁₂+ y₁x₃A₁₃ + y₂x₁ A₂₁ + y₂x₂ A₂₂ + y₂x₃ A₂₃ +y₃x₁ A ₃₁ + y₃x₂ A ₃₂ + y₃x₃ A₃₃

Referências Bibliográficas:

 

BOLDRINI, José Luiz... [et. al.] Álgebra Linear. São Paulo:Harper &Row do Brasil. 1980. 3°ed.

HOFFMAN, Kenneth...[et. al.]. Linear Algebra. Prentice - Hall, inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1971, (P. 360 -367)