Cálculo - Estudo dos Limites

            Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito..
            Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções. _{(Fonte: Wikipédia)
 
             Limite de uma Sequência}
            
              Seja uma sequência de números reais. A expressão:

    

               significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência. Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.

               Limite de Uma Função
              
               Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão:

    

               significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x suficientemente próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de c, é L"

Para entendermos melhor vamos investigar o comportamento da função f definida por

f(x) = x²- x + 2 para valores próximos de 2, mas não iguais a 2.

Para isto basta darmos valores quaisquer a x e substituir na f.

ex.: se x=-1 tem-se  f(-1) =(-1)² - (-1) + 2 = 4

      se x=  0 tem-se  f(0) =0² - 0 + 2 = 2

      _{Dando mais valores para x podemos formar uma tabela, como a que se encontra abaixo:}
 

x	f (x)
-1,5	5,75
-1	4
-0,5	2,75
0	2
0,5	1,75
1	2
1,5	2,75
1,9	3,71

      _{Analisando o gráfico da função, temos:}

_{Vemos que quando x se aproxima de 2, f(x) estará próximo de 4. De fato, é evidente que podemos tomar valores tão próximos de 2 como quisermos, mais próximos do que o 1,9 que tomamos, poderia ser por exemplo, 1,99 que estaria bem mais próximo de 2.
Assim expressamos isso dizendo que "o limite da função f(x) = x²- x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4".
A notação para Isto é:}

    
_Definição

 _{Exemplo de Limite usando a Definição}